Este estudio se realiza con el objetivo de establecer un marco teórico que permita dar nuevas desigualdades integrales usando los conceptos de funciones quasiconvexas, phi-quasiconvexas, s-phi-convexas, phi-convexas; así como publicar algunos resultados de las desigualdades de Hermite-Hadamard, Simpson y Ostrowski. La desigualdad integral de Jensen tiene mucha importancia en cuanto a sus aplicaciones en diferentes campos de las matemáticas. Se ha encontrado una nueva desigualdad tipo Jensen para funciones cuya segunda derivada envalor absoluto esφ-convexa.

La convexidad es una noción básica de la geometría, pero también se usa ampliamente en otras áreas de las matemáticas como la teoría de optimización, la teoría de desigualdades del análisis funcional, la teoría de juegos, la teoría de números, el cálculo variacional, entre otras; y su interrelación con estas ramas se muestra cada día más profunda y fructífera. Una parte importante del tema general de la convexidad es la teoría de funciones convexas que se remonta del siglo XIX, señalando que en 1883 el matemático francés Charles Hermite obtiene unas desigualdades entre integrales de funciones para las cuales su gráfico cumple cierta propiedad de convexidad, En 1889, el matemático alemán, Otto Hölder consideró este concepto ligado con las funciones reales que tiene segunda derivada no-negativa, obteniendo una forma discreta de lo que se conoce hoy como la desigualdad de Jensen. Esta investigación busca introducir los nuevos conceptos de función s-phi convexa, como una generalización de la phi-convexidad, función fuertemente Orlicz convexa como generalización del concepto Orlicz Convexa, y establecer algunas nuevas desigualdades de tipo Ostrowski, Hermite-Hadamard, para funciones n-diferenciables que son s-phi convexas, y algún otro tipo de desigualdades para funciones fuertemente Orlicz convexas, proporcionando un marco teórico que permita establecer algunas de las desigualdades clásicas (Trapezium, Simpsom, Hermite-Hadamard, Ostrowski, Gruss) para funciones convexas generalizadas y además obtener las posibles relaciones de esta clase de funciones con conceptos ya conocidos como las funciones phi-convexas y strongly convexas, entre otros.

Mediante esta investigación se estudia la clase de los subconjuntos compactos numerables de algunos espacios polacos. Utilizando el concepto de homeomorfismo, se obtiene una partición y clasificación adecuada de esta clase siguiendo las ideas dadas por G. Cantor. Posteriormente, se generalizan resultados dados por S.Mazurkiewicz y W. Sierpinski para el estudio de la cardinalidad de esta partición. Además, con base en la derivada topológica de este tipo de subconjuntos, la cual fue introducida por G. Cantor, se generalizan algunos resultados dados por B. Álvarez-Samaniego y A. Merino. El estudio de esta clasificación tiene aplicaciones futuras en Ecuaciones en Derivas Parciales, dado que el espectro que se obtiene en algunas ecuaciones que modelan fenómenos físicos como las ondas de agua, pueden ser conjuntos compactos y numerables; de esta manera, se puede transportar la clasificación de este tipo de conjuntos a una clasificación de las ecuaciones diferenciales dando, así, un mejor entendimiento de estas y, por ende, de los fenómenos físicos que estas modelan. Por otro lado, este estudio abre las puertas a una nueva rama de investigación en el país, configurando un espacio para la interrelación de varias áreas de la Matemática Pura, como lo son la Topología, Teoría de Conjuntos, Teoría de la Medida, Fundamentos de la Matemática, que han sido poco desarrolladas en el país y la región.

Mediante este estudio se busca elaborar curvas S patrón para la planeación de proyectos de construcción en Ecuador, según su naturaleza, a través de un método cuantitativo de tipo prospectivo. La curva S de un proyecto es un resultado del cronograma que se obtiene al planificar y puede aplicarse al consumo de cualquier recurso, pues representa un avance físico o monetario. La utilización de una curva S elaborada a partir de un modelo matemático puede aumentar las probabilidades de éxito de un proyecto, más que si se utiliza una curva S elaborada empíricamente. Instituciones públicas que contratan proyectos de construcción, gremios relacionados a la industria de la construcción, contratistas, constructores e instituciones de educación superior contarán con una herramienta que facilite la planeación de los proyectos de construcción de diferente naturaleza, evitando así caer en incumplimientos en el avance de los trabajos al momento de la ejecución de las obras.

Esta investigación propone estudiar dos volcanes en distintas etapas de actividad: el volcán Reventador (en fase eruptiva casi continua) y el volcán Cotopaxi (en fase de reposo, pero activo). Los volcanes son estructuras naturales que manifiestan distintos tipos de actividad que pueden ser potencialmente desastrosas para comunidades y poblaciones, como es el caso de las erupciones. La naturaleza de los volcanes es muy compleja y, por lo tanto, predecir con exactitud el comportamiento de cada uno es difícil, aunque una de las formas de tratar de pronosticar su comportamiento es caracterizando sus señales (eventos); es decir, cómo son, cuándo aparecen y cómo se relacionan con el estado de actividad de los volcanes. Entre estas señales existen las de tipo sísmico y de infrasonido, que se obtienes para este estudio, a partir de una colaboración con el Instituto Geofísico de la Escuela Politécnica Nacional y de instrumentos desarrollados por los investigadores de la PUCE. Con base en la caracterización de los eventos obtenidos se propone crear catálogos temporales y descriptivos de los eventos volcánicos. Finalmente se aplican teorías estadísticas y probabilísticas para definir posibles estados (o transiciones de estado) y la recurrencia de la actividad de los volcanes en estudio. Los resultados de esta investigación implican un mejoramiento en el conocimiento de los volcanes mencionados y pueden ayudar a determinar su estado de actividad actual y futuro para contribuir a la toma de decisiones, reducir riesgos y desarrollar planes de contingencia.

La convexidad es una noción básica de la geometría que se usa también ampliamente en otras áreas de las matemáticas y su interrelación es cada día más profunda y fructífera. Este proyecto busca introducir conceptos de la función s-phi convexa, como una generalización de la phi-convexidad, función fuertemente Orlicz convexa, en tanto generalización del concepto dado por Cristescu, G. et. al. (2014). Establece algunas nuevas desigualdades de tipo Ostrowski para funciones n-diferenciables que son s-phi convexas, y algún otro tipo de desigualdades para funciones fuertemente Orlicz convexas. Proporciona un marco teórico que permita establecer algunas desigualdades clásicas para funciones convexas; y, además, establece las posibles relaciones de esta clase de funciones con conceptos ya conocidos como las funciones phi-convexas y strongly convexas.

La luminiscencia es uno de los fenómenos más importantes involucrados en aplicaciones comerciales. Estos materiales tienen aplicaciones en láseres, diodos emisores de luz, biomarcadores, centelladores, determinaciones fluorométricas de concentraciones especies; son usados en biología, farmaceútica y medicina como indicadores de temperatura y como barras de luz que se iluminan en la oscuridad. Recientemente, ha surgido el interés en el nuevo desarrollo de materiales luminiscentes con posibles aplicaciones en sistemas de iluminación. Los focos de iluminación actuales contienen mercurio, un elemento tóxico que se busca reemplazar por nuevos materiales luminiscentes que sean amigables con el medio ambiente. Mediante esta investigación se realizan estudios espectroscópicos en materiales luminiscentes que ayudan a la determinación de la estructura electrónica del material y así explicar los posibles mecanismos para la absorción y emisión de luz. Si un material presenta un espectro de absorción con picos en ciertas frecuencias, implica que esta radiación está interactuando con las moléculas constituyentes del material. La absorción de un fotón desencadena varios procesos: relajaciones radiativas y no radiativas. La espectroscopía de fotoluminiscencia permite identificar los estados emisivos del material y las posibles vías de relajaciones radiativas. Por lo tanto, surge la necesidad de estudiar las propiedades espectroscópicas de nuevos materiales luminiscentes con el fin de conocer su “huella dactilar” y determinar sus posibles aplicaciones.

En el desarrollo de nuevos materiales, más allá de sus potenciales aplicaciones, es necesario conocer sus limitaciones o rangos de funcionamiento, principalmente si son fabricados para su uso en condiciones extremas (aplicaciones aeroespaciales, climas extremos, altas profundidades y otros). En particular, conocer su estabilidad térmica permite determinar no solo si es capaz de soportar una temperatura dad, sino tener información acerca de si el material cambia en su conformación aun cuando las condiciones extremas no se presentes. Este estudio caracteriza térmicamente semiconductores de la familia III-V, los cuales tienen aplicaciones en el desarrollo de materiales opto-electrónicos. La caracterización térmica consiste en estudios de Análisis Térmico Diferencial y la medición en entalpía de formación; esta última medida provee información acerca de la energía necesaria para la elaboración del material, algo crucial si se considera la masificación del producto. Todas estas propiedades térmicas están teóricamente relacionadas con la conformación estructural del material, por lo que se hace necesaria la caracterización por Difracción Rayos X para poder establecer una relación unívoca entre ambas variables.

Son conocidas las dificultades que presentan los estudiantes en el aprendizaje de la Matemática en los distintos niveles de enseñanza. En las carreras universitarias tienen dificultades significativas en la comprensión de conceptos y aplicación de los mismos a la solución de problemas, debido fundamentalmente a deficiencias básicas. Este estudio busca mejorar el Proceso de Enseñanza – Aprendizaje (PEA) de la Matemática para favorecer la preparación de los estudiantes, a partir de la participación de un grupo de docentes investigadores de la PUCE que se han propuesto resolver el problema de cómo influir positivamente en el desarrollo del PEA de la Matemática en la PUCE. Mediante la implementación de estrategias didácticas vinculadas al Paradigma Pedagógico Ignaciano propio del modelo educativo de la institución, la investigación propone la obtención de mejores resultados docentes.